| 曆二 大統曆法一上法原 造曆者各有本原，史宜備錄，使後世有以考。如太初之起數鍾律，大衍之造端蓍策，皆詳本志。授時曆以測驗算術為宗，惟求合天，不牽合律呂、卦爻。然其法之所以立，數之所從出，以及晷影、星度，皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中，有書名可考。元史漫無采摭，僅存李謙之議錄、曆經之初稿。其後改三應率及立成之數，與夫割圓弧矢之法，平立定三差之原，盡削不載。使作者精意湮沒，識者憾焉。今據大統曆通軌及曆草諸書，稍為編次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股測望，曰弧矢割圓，曰黃赤道差，曰黃赤道內外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。 句股測望 北京立四丈表，冬至日午正，測得景長七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半，為半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半徑，截矢餘五十四度九十六分為股，乃本地去戴日下之度。以弦股別句術，求得句二十六度一十七分六十六秒，為日出地半弧弦。 北京立四丈表，夏至日午正，測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，為半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半徑，截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句，乃本地去戴日下之度。以句弦別股術，求得股五十八度四十五分半，為日出地半弧弦。 以二至日度相併，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，為北京北極出地度。 弧矢割圓 周天徑一百二十一度七十五分少。[少不用。] 半徑六十○度八十七分半。[又為黃赤道大弦。] 二至黃赤道內外半弧背二十四度。[所測就整。] 二至黃赤道弧矢四度八十四分八十二秒。 黃赤道大句二十三度八十分七十秒。 黃赤道大股五十六度○二分六十八秒。[半徑內減去矢度之數。] 割圓求矢術 置半弧背度自之，為半弧背羃，周天徑自之，為上廉。 上廉乘半弧背羃，為正實。 上廉乘徑，為益從方。 半弧背倍之，乘徑，為下廉。 以初商乘上廉，得數以減益從方，餘為從方。 置初商自之以減下廉，餘以初商乘之，為從廉。 從方、從廉相並，為下法。 下法乘初商，以減正實，實不足減，改初商。實有不盡，次第商除之。 倍初商數，與次商相並以乘上廉，得數以減益從方，餘為從方。 并初商次商而自之，又以初商自之，並二數以減下廉，餘以初商倍數並次商乘之，為從廉。 從方、從廉相並，為下法。 下法乘次商，以減餘實，而定次商。有不盡者，如法商之，皆以商得數為矢度之數。[黃赤道同用。] 如以半弧背一度求矢度。 術曰：置半弧背一度自之，得一度，為半弧背羃。 置周天徑一百二十一度太自之，得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒，為上廉。 上廉乘半弧背羃，得一萬四千八百二十三度○六分二五，為正實。 上廉又乘徑，得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五，為益從方。 半弧背一度倍之，得二度，以乘徑得二百四十三度五十分，為下廉。 初商八十秒。 置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五，得一百一十八度五八四五，以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五，餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五，為從方。 又置初商八十秒自之，得六十四微，以減下廉，餘二百四十三度四九九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，為從廉。 以從廉、從方並之，共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，為下法。 下法乘初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四，以減正實，餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六。 次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二秒，得一分六十二秒，乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五，得二百四十○度一三三六一二五，以減益從方，餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五，為從方。 又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之數，得一秒三十一微，以減下廉，餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，為從廉。 以從廉、從方並，得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八，為下法。 下法乘次商，得三百六十○度八九四三三四○九二○七五五六，以減餘實，仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四。[不足一秒棄不用，下同。] 凡求得矢度八十二秒，餘度各如上法，求到矢度，以為黃赤相求及其內外度之根。[數詳後。] 黃赤道差 求黃道各度下赤道積度術。 置周天半徑內減去黃道矢度，餘為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦，以黃赤道大股乘之[大股見割圓]為實。 黃赤道大弦[半徑]為法。實如法而一，為黃赤道小股。 置黃道矢自乘為實，以周天全徑為法，實如法而一，為黃道半背弦差。 以差去減黃道積度，[即黃道半弧背。]餘為黃道半弧弦。 置黃道半弧弦自之為股羃，黃赤道小股自之為句羃，二羃並之，以開平方法除之，為赤道小弦。 置黃道半弧弦，以周天半徑[亦為赤道大弦]乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道半弧弦。 置黃赤道小股，[亦為赤道橫小句。]以赤道大弦[即半徑]乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道橫大句，以減半徑，餘為赤道橫弧矢。橫弧矢自之為實，以全徑為法而一，為赤道半背弦差。 以差加赤道半弧弦，為赤道積度。 如黃道半弧背一度，求赤道積度。 術曰：置半徑六十○度八十七分五十秒，[即黃赤道大弦。]內減黃道矢八十二秒餘六十○度八六六八，為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦，以黃赤道大股五十六度○二六八乘之，得三千四百一十○度一七二○三○二四為實，以黃赤道大弦六十○度八七五為法，實如法而一，得五十六度○一分九十二秒，為黃赤道小股。[又為赤道小句。] 置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全徑一百二十一度七五為法，除之得五十五纖，為黃道半背弦差。 置黃道半弧背一度，內減黃道半背弦差，餘為半弧弦，因差在微以下不減，即用一度為半弧弦。 置黃道半弧弦一度自之，得一度為股羃。黃赤道小股五十六度○一九二自之，得三千一百三十八度一五○七六八六四為句羃。二羃並得三千一百三十九度一五○七六八六四為弦實，平方開之，得五十六度○二八一，為赤道小弦。 置黃道半弧弦一度，以半徑[即赤道大弦]乘之，得六十○度八七五為實，以赤道小弦五十六度○二八一為法除之，得一度○八分六十五秒，為赤道半弧弦。 置黃赤道小股五十六度○一九二，[又為赤道小句。]以赤道大弦[半徑]六十○度八七五乘之，得三千四百一十○度一六八八為實，以赤道小弦為法除之，得六十○度八十六分五十三秒，為赤道橫大句。 置半徑六十○度八十七分五十秒，內減赤道大句六十○度八十六分五十三秒，餘九十七秒，為赤道橫弧矢。 置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微○九，以全徑為法除之，得七十七纖，為赤道背弦差。 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒，加赤道背弦差，為赤道積度，今差在微已下不加，即用半弧弦為積度。 凡求得赤道積度一度○八分六十五秒。餘度各如上法，求到各黃道度下赤道積度，兩數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數並同。 黃赤道相求弧矢諸率立成上 至後黃分後赤道積度 黃道矢度 黃道矢差 黃道半弧弦，又為赤道小股 黃赤道小股，又為赤道小句 赤道小弦 十度十分 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 初 一 八二 ○二四六 一○○○○ 五六○一九二 五六○二八一 二 ○三二八 ○四一一 二○○○○ 五五九九六六 ○三二三 三 ○七三九 ○五七六 二九九九九 九五八八 ○三九一 四 一三一五 ○七四一 三九九九九 九○五八 ○四八七 五 二○五六 ○九○七 四九九九七 八三七六 ○六一○ 六 二九六三 一○七三 五九九九三 七五四一 ○七五九 七 四○三六 一二四○ 六九九八七 六五五三 ○九三六 八 五二七六 一四○八 七九九七七 五四一二 一一四○ 九 六六八四 一五七六 八九九六三 四一一六 一三七一 一○ 八二六○ 一七四五 九九九四四 二六六六 一六三○ 一 一○○○五 一九一六 一○九九一八 一○六○ 一九一五 二 一九二一 二○八七 一一九八八三 五四九二九六 二二二六 三 四○○八 二二五八 一二九八三九 七三七五 二五六五 四 六二六六 二四三○ 一三九七八三 五二九七 二九二八 五 八六九六 二六○五 一四九七一三 三○六一 三三二○ 六 二一三○一 二七七九 一五九六二八 ○六六三 三七三五 七 四○八○ 二九五五 一六九五二四 五三八一○六 四一七八 八 七○三五 三一三○ 一七九四○○ 五三八九 四六四四 九 三○一六五 三三○七 一八九二五三 二五○五 五一三五 二○ 三四七二 三四八五 一九九○八○ 五二九四六二 五六五二 一 六九五七 三六六三 二○八八七八 六二五四 六一九二 二 四○六二○ 三八四二 二一八六四五 二八八二 六七五六 三 四四六二 四○二○ 二二八三七六 五一九二四七 七三四二 四 八四八二 四二○○ 二三八○七○ 五六四七 七九五二 五 五二六八二 四三七九 二四七七二一 一七八一 八五八二 六 七○六一 四五五九 二五七三二六 五○七七五一 九二三四 七 六一六二○ 四七三八 二六六八八一 三五五五 九九○六 八 六三五八 四九一七 二七六三八二 四九九二九九 五七○五九九 九 七一二七五 五○九五 二八五八二八 四六六九 一三一○ 三○ 六三七○ 五二七三 二九五二一○ 四八九九八○ 二○三九 一 八一六四三 五四五○ 三○四五三五 五一二七 二七八六 二 七○九三 五六二六 三一三七六○ ○一一一 三五四九 三 九二七一九 五八○一 三二二九三九 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○八六一 ○八六五 二 二一七二八 ○三八八 二一七二八 ○八六○ 一七二八 三 三二五八七 ○八七五 三二五八八 ○八五七 二五八八 四 四三四四三 一五五三 四三四四五 ○八四九 三四四五 五 五四二九○ 二四二五 五四二九四 ○八四三 四二九四 六 六五一二七 三四九四 六五一三七 ○八三三 五一三七 七 七五九五二 四七五七 七五九七○ ○八二三 五九七○ 八 八六七六二 六二一四 八六七九三 ○八一二 六七九三 九 九七五五五 七八一四 九七六○五 ○八○一 七六○五 一○ 一○八三二九 九七一六 一○八四○六 ○七八六 八四○六 一 一一九○六九 一一七六○ 一一九一一二 ○七七二 九一九二 二 一二九八○三 四○○○ 一二九九六四 ○七五五 九九六四 三 一四○四九八 六四三五 一四○七一九 ○七四○ 一○七一九 四 一五一一六一 九○六七 一五一四五九 ○七二○ 一四五九 五 一六一七九六 二一八九三 一六二一七九 ○七○四 二一七九 六 一七二三七四 四九一五 一七二八八三 ○六八四 二八八三 七 一八二九一七 八一三二 一八三五六七 ○六六三 三五六七 八 一九三四一三 三一五四四 一九四二三○ ○六四二 四二三○ 九 二○三八五八 五一五○ 二○四八七二 ○六二二 四八七二 二○ 二一四二四八 八九四八 二一五四九四 ○五九九 五四九一 一 二二四五七八 四二九四八 二二六○九三 ○五七五 六○九三 二 二三四八四五 七一二四 二三六六六八 ○五五四 六六六八 三 二四五○四四 五一四九八 二四七二二二 ○五三○ 七二二二 四 二五五一七一 六○六一 二五七七五二 ○五○六 七七五二 五 二六五二二一 六○八一四 二六八二五八 ○四八二 八二五八 六 二七五一八九 五七五一 二七八七四○ ○四五六 八七四○ 七 二八五○七一 七○八七四 二八九一九六 一○四三二 一九一九六 八 二九四八六二 六一七八 二九九六二八 ○四○八 九六二八 九 三○四五五九 八一六六四 三一○○三六 ○三八二 二○○三六 三○ 三一四一五五 七三二六 三二○四一八 ○三五五 ○四一八 一 三二三六四五 九三二六三 三三七七七三 ○三三二 ○七七三 二 三三三○二七 九一七三 三四一一○五 ○三○六 一一○五 三 三四二二九五 一○五三五一 三五一四一一 ○二八○ 一四一一 四 三五一四四四 一一一六九五 三六一六九六 ○二五四 一六九一 五 三六○四七○ 八二○二 三七一九四五 ○二二九 一九四五 六 九三六八 一二四八六六 三八二一七四 ○二○三 二一七四 七 三七八一三四 一三一六八六 三九二三七七 ○一七七 二三七七 八 三八六七六四 八六五四 四○二五五四 ○一五二 二五五四 九 三九五二五四 一四五七七○ 四一二七○六 ○一二六 二七○六 四○ 四○三五九九 一五三○二七 四二二八三二 ○一○二 二八三二 一 四一一七九七 一六○四二○ 四三二九三○ ○○七五 二九三○ 二 九八四二 七九四六 四四三○○九 ○○四九 三○○九 三 四二七七三三 一七五五九八 四五三○五八 ○○二七 三○五八 四 四三五四六七 一八三三七三 四六三○八五 ○一○○○○ 三○八五 五 四四三○五八 一九一二六五 四七三○八五 九九七四 三○八五 六 四五○四四五 九二六五 四八三○五九 九九五一 三○五九 七 七六八七 二○七三七九 四九三○一○ 九九二五 三○一○ 八 四六四七六○ 二一五五九○ 五○二九三五 九九○一 二九三五 九 四七一六六二 二二三八九七 五一二八三六 九八九六 二八三六 五○ 八三九一 二三二二九五 五二二七一二 九八五一 二七一二 一 四八四九四六 二四○七七八 五三二五六三 九八二七 二五六三 二 四九一三二六 九三四一 五四二三九○ 九八○三 二三九○ 三 七五三○ 二五七九八○ 五五二一九三 九七八○ 二一九三 四 五○三五五六 二六六六八七 五六一九七三 九七五五 一九七三 五 九四○五 二七五四六○ 五七一七二八 九七三一 一七二八 六 五一五○七六 二八四二九一 五八一四五九 九七○八 一四五九 七 五二○五六八 二九三一八○ 五九一一六七 九六八五 一一六七 八 五八八三 三○二一一八 六○○八五二 九六六一 ○八五二 九 五三一○一九 三一一一○二 六一○五一三 九六三九 ○五一三 六○ 五九七八 三二○一二八 六二○一五二 九六一六 ○一五二 一 五四○七六一 九一九一 九七六八 九五九四 一九七六八 二 五三六八 三三八二八七 六三九三六二 九五七二 九三六二 三 九八○○ 三四七四一四 六四八九三四 九五五一 八九三四 四 五五四○五七 三五六五六八 六五八四八五 九五二九 八四八五 五 八一四三 三六五七四二 六六八○一四 九五○九 八○一四 六 五六二○五七 三七四九三九 六七七五二三 九四八七 一七五二三 七 五八○一 三八四一五一 六八七○一○ 九四七○ 七○一○ 八 九三七九 三九三三七八 六九六四八○ 九四五○ 六四八○ 九 五七二七九○ 四○二六一五 七○五九三○ 九四二七 五九三○ 七○ 六○三一 四一一八六二 七一五三五七 九四一二 五三五七 一 九一一一 四二一一一六 七二四七六九 九三九二 四七六九 二 五八二○二九 四三○三七四 七三四一六一 九三八五 四一六一 三 四七八七 九六三六 七四三五四六 九三五三 三五四六 四 七三八七 四四八八九九 七五二八九九 九三四三 二八九九 五 九八三○ 四五八一六三 七六二二四二 九三二九 二二四二 六 五九二一一七 四六七四二五 七七一五七一 九三一五 一五七一 七 四二五一 四七六六八五 七八○八八六 九三○四 ○八八六 八 六二三四 四八五九四四 七九○一九○ 九二八六 ○一九○ 九 八○六五 四九五一九五 九四七六 九二七五 ○九四七六 八○ 九七四七 五○四四四三 八○八七五一 九二六五 八七五一 一 六○一二八一 五一三六八八 八一八○一六 九二五五 八○一六 二 二六七四 五二二九二七 八二七二七一 九二四四 七二七一 三 三九一三 五三二一五九 八三六五一五 九二三八 六五一五 四 五○一二 五四一三八九 八四五七五三 九二二八 五七五三 五 五九六七 五五○六一三 八五四九八一 九二二二 四九八一 六 六七八一 九八三二 八六四二○三 九二一五 四二○三 七 七四五三 五六九○四六 八七三四一八 九二一二 三四一八 八 七九八五 五七八二五七 八八二六三○ 九二一○ 二六三○ 九 八三七一 五八七四六五 八九一八四○ 九二○四 一八四○ 九○ 八六三○ 五九六六七一 九○一○四四 九二○四 一○四四 一 八七四三 六○五六七四 九一○二四八 二八七七 ○二四八 一三一 八七五○ 八七五○ 三一二五 ○○○○ ○○○○ 按郭守敬創法五端，內一曰黃道差，此其根率也。舊法以一百一度相減乘。授時立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其差數，合於渾象之理，視古為密。顧至元曆經所載甚略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為差率，今正之。 割圓弧矢圖[圖闕] 凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，則有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢生句股形，以半弧弦為句，矢減半徑之餘為股，半徑為弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦，而大小可互求，平側可互用，渾圓之理，斯為密近。 側立之圖[圖闕] 平者為赤道，斜者為黃道。因二至黃赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小句股。 平視之圖[圖闕] 外大圓為赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大句股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。 按舊史無圖，然表亦圖之屬也。今句股割圓弧矢之法，實為曆家測算之本。非圖不明，因存其要者數端。 黃赤道內外度 推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。 置半徑內減去赤道小弦，餘為赤道二弦差。[又為黃赤道小弧矢，又為內外矢，又為股弦差。] 置半徑內減去黃道矢度，餘為黃赤道小弦。以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實，以黃赤道大弦為法，[即半徑。]除之為黃赤道小弧弦。[即黃赤道內外半弧弦，又為黃赤道小句。] 置黃赤道小弧矢自之，[即赤道二弦差。]以全徑除之，為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。 置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈末限以減，皆加減象限度，即各得太陽去北極度分。 如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。 術曰：置半徑六十○度八十七分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，為黃赤道小弧矢。[即內外矢。] 置半徑六十○度八七五，內減黃道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十四度三十○分六十八秒，為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千○五十○度五十一分四二三八為實，以黃赤道大弦六十○度八七五為法除之，得一十七度二十五分六十九秒為黃赤道小弧弦。[即內外半弧弦。] 置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實，以全徑一百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒為背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十○分八十九秒，為二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。 置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三○八九加之，得一百○八度六十二分三十二秒七五，為冬至後四十四度太陽去北極度。 黃道每度去赤道內外及去北極立成 黃道積度 黃赤內外矢，又為赤道二弦差 內外半弧弦，又為黃赤小弧弦 內外度，又為黃赤道小弧半背 冬至前後去極度 夏至前後去極度 十度分 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 初 ○四八四八二 二三七一○○ 二三九○三○ 一一五二一七三 六七四一一三 一 八四六九 七○七八 八九九七 二一四○ 四一四六 二 八四二七 六九七二 八八九八 二○四一 四二四五 三 八三五九 六八一二 八七三二 一八七五 四四一一 四 八二六三 六五八八 八五四一 一六四四 四六四二 五 八一四○ 六二九九 八二○二 一三四五 四九四一 六 七九九一 五九四六 七八三八 ○九八○ 五三○六 七 七八一四 五五二八 七四○五 ○五四八 五七三八 八 七六一○ 五○四五 六九○七 ○○五○ 六二三六 九 七四九九 四四九六 六三四二 一一四九四八五 六八○一 一○ 七一二○ 三八八三 五七○六 八八四九 七四三七 一 六八三五 三二○三 五○○四 八一四七 八一三九 二 六五二四 二四五七 四二三五 七三七八 八九○八 三 六一八七 一六四四 三三九六 六五三九 九七四七 四 五八二二 ○七六四 二四八八 五六三一 六八○六五五 五 五四三○ 二二九八一八 一五一三 四六五六 一六三○ 六 五○一五 八八○二 ○四六六 三六○九 二六七七 七 四五七二 七七二一 二二九三五二 二四九五 三七九一 八 四二○六 六五七○ 八一六七 一三一○ 四九七六 九 三六一五 五三五一 六九一三 ○○五六 六二三○ 二○ 三○九八 四○六三 五五八八 一一三八七三一 七五五五 一 二五五八 二七○六 四一九三 七三三六 八九五○ 二 一九九四 一二七九 二七二七 五八七○ 六九○四一六 三 一四○八 二一九七八二 一一九○ 四三三三 一九五三 四 ○七九八 八二一七 二一九五八四 二七二七 三五五九 五 ○一六八 六五八一 七九○六 一○四九 五二三七 六 三九五一六 四八七五 六一五九 一一二九三○二 六九八四 七 八八四四 三一○○ 四三三九 七四八二 八八○四 八 八一五一 一二五四 二四四九 五五九二 七○○六九四 九 七四四○ 二○九三三九 ○四八九 三六三二 二六五四 三○ 六七一一 七三五五 二○八四六二 一六○五 四六八一 一 五九六四 五三○一 六三六三 一一一九五○六 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